Jeu de l'été : Échiquier

Bonjour à tous, depuis quelques temps je me fabrique mon échiquier car c'est un jeu qui me passionne particulièrement. Je vous passe les étapes de fabrication, quoique je pourrais vous en faire part si jamais ça vous intéresse. Néanmoins en finalisant la 2ème couche de peinture marbrée, je me suis dit que j'allais regarder ce que ça donne.

Sauf qu'en positionnant mes cases noires et blanches je me suis demandé comment les placer et combien de possibilité de positions il y a exactement (orientations comprises).

Alors, petit jeu de l'été : saurez-vous me dire précisément combien de possibilité de positions il y a pour placer mes cases sur mon plateau ? Avis aux matheux fan de fractales et statistiques.

Indice : la réponse n'est pas 42.
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Bonjour à tous, depuis quelques temps je me fabrique mon échiquier car c'est un jeu qui me passionne particulièrement. Je vous passe les étapes de fabrication, quoique je pourrais vous en faire part si jamais ça vous intéresse. Néanmoins en finalisant la 2ème couche de peinture marbrée, je me suis dit que j'allais regarder ce que ça donne.

Sauf qu'en positionnant mes cases noires et blanches je me suis demandé comment les placer et combien de possibilité de positions il y a exactement (orientations comprises).

Alors, petit jeu de l'été : saurez-vous me dire précisément combien de possibilité de positions il y a pour placer mes cases sur mon plateau ? Avis aux matheux fan de fractales et statistiques.

Indice : la réponse n'est pas 42.

Envoyé par vYse59 le 2 juillet 2019 à 10h56

+ 16 -

Kudsak Vermisseau

Je propose qu'on procède par élimination: chacun indique une réponse qui n'est pas bonne. Allez, je commence: la réponse n'est pas 26 !

PS: les cases noires, on dirait mon clavier quand j'ai plus de sopalin :)
+ 6 -

Foxsking Lombric Shaolin

Mon estimation basse : 2.1050467e+36
Je te laisse nous prendre en photos toutes les possibilités pour vérifier mon résultat ;)
+ 2 -

LoarBleiz Lombric

J'suis une merde en maths mais comme un échiquier c'est du 8x8 et qu'une case à 4 côtés, j'aurai penser à un calcul du style 8x8x4=256 mais ça me paraît pas énorme.
Après sincèrement j'ai pensé que t'avais juste foutré sur ton clavier.
+ 9 -

pYranha Lombreek

32 choix possibles et 4 orientations pour la première case noire, 31 choix possibles et 4 orientations pour la deuxième, etc... et on répète pour les cases blanches.
Tu as donc (32!)*(4^32)*2 possibilités. Soit environ 9.7*10^54 possibilités

Sinon, elles sont faites en quoi tes cases?
+ 2 -

Benestcon En réponse à pYranha Asticot

Ah merde les orientations !
+ 5 -

pYranha En réponse à Benestcon Lombreek

Et si on ne tiens pas compte de l'orientation de l'échiquier dans son ensemble, il faut diviser par 4, vu que plusieurs de ces combinaisons sont identiques à une rotation prés.

(Et t'as raison, c'est 32!*32!, et non pas 32!*2. J'ai fait de la m***!)

donc je dirais (32!)^2*(4^32)/4 comme réponse finale. Soit 3.19*10^89 environ. Un milliards de fois plus que le nombre d'atomes dans l'univers!
+ 4 -

Benestcon En réponse à pYranha Asticot

Ca me semble correct
+ 4 -

pYranha En réponse à Benestcon Lombreek

Non c'est toujours pas correct...

C'est (((32!)*(4^32))^2)/4
Soit 5.9*10^108 environ.

'pas les yeux en face des trous aujourd'hui...
+ 2 -

Benestcon En réponse à pYranha Asticot

Je dirais même : il nous manque une case !
Image de Benestcon
+ 3 -

_pepe_ En réponse à pYranha

Dans le cas où l'on considèrerait que l'échiquier n'a pas d'orientation définie (i.e. pas de repérage physique des lignes et des colonnes), il faudrait diviser (32! × 4^32)^2 par 2, et non pas par 4.

En effet, si l'échiquier est tourné d'un quart de tour, il ne présente plus la même configuration : les cases blanches et noires sont inversées. (Quand on commence à placer les pièces sur un échiquier non repéré, on vérifie par exemple qu'on a bien une case noire en bas à gauche ; si elle est blanche, c'est que l'échiquier n'est pas bien orienté).
+ 0 -

pYranha En réponse à _pepe_ Lombreek

Pour quelqu'un qui souhaite savoir comment coller des cases ensemble et fabriquer son échiquier, quelle que soit la rotation de l'ensemble, ça reste le même objet physique.
+ 1 -

_pepe_ En réponse à pYranha

L'objet physique n'est pas le même selon les options considérées :
• Si les touches sont symétriques alors on doit appliquer un facteur 4 sur chaque case. Dans le cas contraire (par exemple quand les touches proviennent d'un ancien modèle de clavier où leur surface est inclinée vers l'avant), ce facteur ne doit pas apparaître.
• Si les lignes et les colonnes ne sont pas repérées, alors on aura compté 2 fois les combinaisons réalisables car on retrouve le même objet en effectuant une rotation d'un demi-tour ; il faut donc diviser par 2 le résultat obtenu. A contrario, quand un repère apparaît sur l'échiquier comme sur le modèle de la photo qui accompagne mon autre commentaire, la rotation d'un demi-tour aboutit à présenter un objet différent, et on ne doit pas diviser le résultat par 2.

Mais dans tous les cas, une rotation d'un quart de tour n'aboutit pas à la même configuration. Il n'est donc jamais question de diviser le résultat par 4.

À titre d'illustration, voici un exemple simplifié avec 2x2 cases non repérées contenant un motif symétrique (pas de facteur 4^N à appliquer). Le nombre de combinaison est bien (2!^2)/2 = 2, et non pas (2!^2)/4 = 1 : si l'on tourne d'un quart de tour l'une des configurations, on ne retombe pas sur l'autre configuration, on a bien affaire à deux objets distincts.
Image de _pepe_
+ 2 -

_pepe_ En réponse à pYranha

En principe, un véritable échiquier possède une orientation. Habituellement, on numérote physiquement les lignes de 1 à 8 et les colonnes de A à H.
Image de _pepe_
+ 1 -

Benestcon En réponse à _pepe_ Asticot

En fait non, j'ai pas les yeux en face des trous, la réponse de _pepe_ me semble plus juste parce qu'il faut élever au carré après avoir pris en compte les orientations
+ 2 -

_pepe_ En réponse à pYranha

Si l'on a bien 32!×4^32 combinaisons pour les cases noires, pour y ajouter les cases blanche il faut multiplier par le même nombre (c'est-à-dire l'élever au carré) et non pas le multiplier par deux.
+ 1 -

pYranha En réponse à _pepe_ Lombreek

Je sais, je me suis repris juste après.
+ 1 -

_pepe_ En réponse à pYranha

Très juste. Au temps pour moi.
+ 0 -

vYse59 En réponse à pYranha Lombric Shaolin

Bien joué je pense aussi dans ces eaux la j'ai eu un pet de cerveau moi même à la fin de mon calcul en reprenant en compte l'orientation des pièces car (32! x 32! x 4!) mais ton "donc je dirais (32!)^2*(4^32)/4 comme réponse finale. Soit 3.19*10^89 environ. Un milliards de fois plus que le nombre d'atomes dans l'univers!" me parait plus juste :)

merci en tout cas du vertige du calcul :p
sinon c'est du meduim que j'ai usiné à la dremel pour avoir un arrondi puis poli au papier 320 mm, une sous-couche à l'acrylique blanche pour les blanches (seriously?)et noire pour les noires (gné !) et je fais un effet marbrée en Pouring:
-donc une préparation acrylique noir + eau et huile de silicone pour éviter que les mélanges ne se fassent
-et une deuxième préparation en blanc avec le même contenu
je verse alors dans un bouchon une bonne quantité de noir et une ou deux goutte de blanc et je coule sans mélanger. le marbrage se fait.
j'accompagne le coulage avec le doigt seulement sur les cotés pour garder le dessus le plus lisse possible.

si ça vous interresse je ferais une vidéos de toutes les étapes mais mon échiquier est loin d'être fini, j'ai encore à vernir, le coller sur un socle que je vais peindre et en encore faire un contour lui même usiné
+ 0 -

wizzz En réponse à vYse59 Jeune asticot

T'utilise quoi colle huile de silicone ?
J'ai regardé chez Decath' rayon entretien matos aquatique j'ai que de la graisse. Chez Casto y a 10 sortes différentes pour entretien mecanique... le pouring me tente depuis quelques temps mais j'ai pas envie d'essayer 25 produits tous plus cher les uns que les autres !
+ 0 -

vYse59 En réponse à wizzz Lombric Shaolin

c'est celle de cultura la pébéo : https://www.cul...7865245674.html
elle fait très bien le taff pour ce que j'ai besoin, j'en met un peu plus que 2-3 goutte par contre.
en peinture j'ai pris les basics, le noir de mars est magnifique je trouve
et niveau budget c'est relativement bas par rapport à ce que je souhaite.
+ 1 -

Benestcon Asticot

Le nombre de combinaisons possible de placement pour n éléments est n! soit 1 x 2 x 3 x ... x (n-1) x n on appelle ça la factorielle de n. (oui, j'utilise la lettre x pour la multiplication)

On a 64 pièces à placer, sachant qu'on ne peut pas mettre une noire à la place d'une blanche et vice-versa (Rosa Parks is not amused), il y a 32 places possibles pour chaque pièce.

Donc pour les pièces blanches on a 32! = 2,63 x 10^35 combinaisons différentes.
Et pour chacune de ces combinaisons, on a 32! combinaisons pour les cases noires.

Ce qui nous donne :
32! x 32! = 6,9 x 10^70

Soit environ 70 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 combinaisons possible.
+ 2 -

doomy Lombric Shaolin

J'ai même pas compris la question, alors trouver une réponse..
+ 2 -

_pepe_

Si l'on a le choix dans l'orientation des touches (4 possibilités) alors il y a (32! × 4^32)^2 combinaisons possibles, c'est-à-dire précisément 23 560 415 172 388 511 266 306 231 419 447 796 126 745 284 209 581 560 495 197 732 971 907 904 411 086 786 156 035 250 428 313 600 000 000 000 000 (soit environ 2,356.10^109).

Si l'orientation des touches est imposée, alors on a 32!^2 combinaisons, c'est-à-dire 69 237 837 345 426 015 193 166 198 943 959 583 654 468 513 190 741 907 865 600 000 000 000 000 (environ 6,924.10^70).
+ 2 -

Sylfaen Vermisseau

Alors perso je n'y comprends rien (Bac L), mais je tiens quand même à rappeler à tous les matheux présents que chaque case ayant deux faces, il y a en réalité 8 positions possibles par case (et non pas 4 comme tous le monde semble le penser) indépendamment de sa localisation sur l’échiquier...
+ 0 -

_pepe_ En réponse à Sylfaen

Ces touches-là n'ont qu'une seule face. Au dos on trouve leur système de fixation sur le cadre du clavier ou sur le bouton-poussoir (suivant l'ancienneté du modèle).
+ 1 -

Weng-Weng Lombrico de la Cruz

C'est fait comment? Et comment tu fais de la peinture marbrée?
+ 1 -

vYse59 En réponse à Weng-Weng Lombric Shaolin

Je fais un effet marbrée en Pouring:
-donc une préparation acrylique noir + eau et huile de silicone pour éviter que les mélanges ne se fassent
-et une deuxième préparation en blanc avec le même contenu
je verse alors dans un bouchon une bonne quantité de noir et une ou deux gouttes de blanc et je coule sans mélanger. le marbrage se fait.
j'accompagne le coulage avec le doigt seulement sur les cotés pour garder le dessus le plus lisse possible.

si ça vous interressent je ferais une vidéo de toutes les étapes mais mon échiquier est loin d'être fini, j'ai encore à vernir, le coller sur un socle que je vais peindre et en encore faire un contour lui même usiné
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le-long-brick En réponse à vYse59 Longbric

Inutile de m'inviter à manger chez toi, je ne viendrais pas !
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Yanou3501 Asticot

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eyhtern En réponse à Yanou3501

bravo, tu as de la maîtrise
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Oblivionis Taret

il est ou le panda ?
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Ptilupus Lombric Shaolin

2. Soit dessus, soit pas dessus. CQFD
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