L'incroyable addition 1+2+3+4+...=-1/12

1 869 vues

L'addition de tous les nombres entiers positifs donne -1/12. Absurde ? A première vue oui, mais quand on y regarde de plus près, on découvre l'une des plus belles et plus mystérieuses théories mathématiques.

Envoyé par AlfredW le 2 décembre 2014 à 09h19

+ 0 -

shiinsoo Lombric Shaolin

Là, si personne ne commente, c'est aussi parce qu'y a rien.
+ 0 -

_pepe_

Bon, je me lance...

On admet le résultat de la vidéo :
C = 1+2+3+4+5+6+... = -1/12

On considère la somme I des nombres impairs : I = 1+3+5+7+9+11+...
On prend 3 fois cette somme (→D) et on la retranche à la somme des entiers C :
D = 3×I = 3+9+15+21+27+33+...
C = (1+2)+3+(4+5)+6+(7+8)+9+(10+11)+12+(13+14)+15+...
= (3)+3+(9)+6+(15)+9+(21)+12+(27)+15+...
C-D = 3+6+9+12+15+... = 3×(1+2+3+4+5+...) = 3×C
On en déduit que D = -2×C = 1/6, d'où I = D/3 = 1/18

Maintenant, on considère la somme P des entiers pairs :
P = 2+4+6+8+10+... = (1+1)+(2+2)+(3+3)+(4+4)+... = 2×C
On en déduit que P = -1/6

Mais on constate aussi que C est la somme des nombres pairs et des nombres impairs :
C = (1)+2+(3)+4+(5)+6+(7)+8+... = P+I = -1/6+1/18 = -1/9

Ah, tiens... je croyais que C = -1/12 !???
... Parce que faire des maths, ce n'est pas juste balancer des calculs, sans avoir posé clairement les hypothèses sur lesquelles repose ce qu'on traite, sans établir et appliquer les règles particulières qui en découlent, et sans en vérifier la consistance !
Image de _pepe_
+ 4 -

Sphax En réponse à _pepe_ LoMBriK addict !

Je crois que tu n'as pas écouté tout ce qu'il a dit lors de cette vidéo, et je te conseille également de lire les commentaires des gens, notamment ceux auxquels il a répondu et y expose son point de vue.

De plus tu peux également lui faire parvenir ce que tu as "trouvé" et il te donnera sa réponse.
+ -1 -

_pepe_ En réponse à Sphax

Je crois que tu n'as pas lu ce que j'ai écrit. Ce que je critique, c'est la présentation complètement ratée d'un sujet sérieux (parce que les sommes infinies en sont effectivement un).

Je ne vois pas l'intérêt de participer à des discussions qui manquent cruellement de rigueur mathématique. Je n'ai envie ni d'y porter caution, ni d'y perdre mon temps.

Quant au bonhomme, s'il a besoin de cours, d'avis ou de conseils, il peut toujours tenter de me contacter.
+ 1 -

BarneyGumbles En réponse à _pepe_ Lombric Shaolin

Est-tu sûr de pouvoir lui donner des leçons en mathématiques ? j'en doute pour 3 raisons:
- Le mec est mathématicien de métier (école Normale Sup/Doctorat à Aix)
- Le problème que pose sa vidéo n'est pas sorti de son chapeau et concerne un véritable champ de recherche en mathématique à savoir les séries divergentes (http://en.wikip..._%2B_%E2%8B%AF)
- Il n'est pas dit que la somme présentée soit le même que la somme naturelle à laquelle on est habituée et il n'est pas dit que la valeur -1/12 soit la seule valeur qu'on puisse assigner à cette série divergente en particulier. Le bon sens peut parfois être un frein à l'imagination.
+ -1 -

_pepe_ En réponse à BarneyGumbles

Compte tenu de mon cursus, je ne pense pas que mon niveau en mathématiques ait à souffrir la comparaison avec le sien.

Par ailleurs, j'ai parfaitement compris le problème dont il parle, et j'ai déjà abordé ces questions. Ce que je lui reproche, c'est d'en parler comme un pied, qu'il s"agisse du contexte dans lequel il est abordé ou de la "démonstration" qu'il prétend en faire. Niveau vulgarisation et niveau rigueur = 0.

Maintenant, si quelqu'un a une idée sur ce qui permet de dire que C = -1/12 mais de réfuter que C = -1/9 comme je viens de le "démontrer", il pourra peut-être donner un début de sens à cette vidéo. Ton avis ?
+ 2 -

BarneyGumbles En réponse à _pepe_ Lombric Shaolin

Ah bon t'as un doctorat de mathématique toi maintenant ? Je ne savais pas que c'était ton métier de tous les jours depuis des années. Il me semblait que tu étais plutôt informaticien moi ...
Enfin bref, perso même ayant eu des maths à la fac et ayant adoré ça, je n'ai ni le bagage ni les connaissances nécessaires dans ce genre de domaines que l'ont aborde plus dans des cursus spécialisés de math théoriques. Mes connaissances sur les séries divergentes se sont arrêté sur le fait qu'elles ne sont pas convergentes justement. Les fonction Zeta et compagnie ce n'était pas dans mon cursus.
Quand à la vidéo je trouve que son format est très bon, il ne s'agit pas de faire un cours magistral mais plutôt de susciter la curiosité des gens qui ne sont pas spécialement matheux et leur donner envie d'approfondir la chose et pourquoi pas les encourager à se diriger vers ce métier.

J'ai lu cet article là:
http://sciencet...es-divergentes/
Et celui de Wikipédia:
http://en.wikip...4_%2B_%E2%8B%AF
Ce que j'ai pu comprendre est que cette valeur finie de cette série divergente n'est pas forcément la seule, tout dépend de la méthode de sommation que tu définies. Enfin je crois.
EDIT: Pour ton résultat, je ne sais pas je n'ai aucune idée, je me demande est-ce qu'il n'est pas dû au fait que tu ais utilisé un facteur x 3 à un certain moment ce qui a eu pour effet de multipulier par 3 les sommations infinie
genre au lieu que ça soit : 1 + 2+ 3+ 4 + .... t'as utilisé 1+2+3+4+... + 1+2+3+4+... 1+2+3+4+...
mais tu peux lui poser la question c'est intéressant de savoir pourquoi.
+ -1 -

_pepe_ En réponse à BarneyGumbles

Je ne suis pas informaticien, mais j'ai fait des études supérieures qui m'ont permis de faire de l'informatique dans mes activités professionnelles, entre autres choses... c'est du reste une activité naturellement à la portée de la plupart des mathématiciens de bon niveau. Maintenant, si je viens sur un site de divertissement sous un pseudo, ce n'est pas non plus pour y publier mon curriculum vitae.

Comme tu le supputes très justement, avant d'aborder le sujet il convient de planter le décor, de préciser un certain nombre de définitions... ce qui n'est justement pas fait dans la vidéo. Alors même si elle peut susciter la curiosité de quelques uns, elle embrouillera assurément l'esprit de beaucoup d'autres, surtout si le résultat et la façon d'y parvenir sont pris pour argent comptant hors de tout contexte.

Je m'insurge contre ce type de vulgarisation, ou d'accroche (je ne saurais trop dire), car de mon point de vue cela fait beaucoup plus de mal que de bien. J'en parle par expérience, pour avoir dû batailler contre des victimes de ce genre de présentations, sur des forums spécialisés et dans mon boulot.

Pour l'idée, le soucis n'est pas (pas essentiellement) dans cette multiplication (note d'ailleurs que cette opération apparaît aussi dans la "démonstration" de la vidéo). Mais merci d'avoir essayé.


[PS: il faudrait sérieusement penser à déplacer le lien "Signaler", voire carrément à le supprimer quand il s'agit de son propre commentaire].
+ 2 -

TheMetroidPrime En réponse à _pepe_ Verxit

Planter le décor pour une telle démonstration requiert un cours magistral. Un long cours magistral.
Le but de la vidéo n'est pas de dire "Hey, l'infini en fait ça vaut -1/12 LEL", mais de mettre en évidence une curiosité.
Le monde des maths est vaste et biscornu, et certaines choses à priori complètement incohérentes et débiles marchent parfaitement en creusant suffisamment profond. Les physiciens n'ont pas attendu le formalisme de la théorie des distributions pour jouer avec le delta de Dirac et le faire passer pour une fonction comme de gros barbares. Et tout est passé parce que ça marchait, et la théorie a fini par suivre.

Je ne suis pas mathématicien, mais (bientôt) physicien, et après avoir vu quelques cas physiques pour lesquels le -1/12 de la mort intervenait, et bien, difficile de se persuader qu'il ne s'agit que de pseudoscience à combattre.
+ -1 -

_pepe_ En réponse à TheMetroidPrime

Sans aller jusqu'à faire un cours magistral exhaustif, je crois qu'en plus d'un quart d'heure de vidéo, il y avait matière à expliquer (même à des non-initiés) de quoi il retournait dans les grandes lignes.

Je pense qu'au bout de quelques années de pratique, après être revenu de l'exaltation des nouvelles découvertes estudiantines puis avoir été confronté aux ravages de toutes ces "curiosités" maladroitement instillée dans l'esprit de tes interlocuteurs, comme moi tu ne trouveras plus cela aussi bien. Mais au moins, tu ne t'étonneras plus des progrès des pseudo-sciences, ni du succès des charlatans scientifiques auprès du public "éduqué".
+ 2 -

BarneyGumbles En réponse à _pepe_ Lombric Shaolin

là t'es dur pepe ! sérieux t'as vu les vidéos qu'il a fait ? Franchement à chaque fois c'est très bien foutu, très didactique avec le souci de rester accessible sans faire d'approximations hasardeuses et si il en fait il le dit clairement pour les besoins de l'explication. On sent bien le mathématicien.
Encore une fois ce n'est pas destiné ni aux matheux, ni même aux étudiants en mathématique en devenir, mais plutôt pour les lycéens ou collégiens ou pour ceux qui sont curieux des mathématiques. J'aime bien apprendre de nouvelles choses même si elles ne me serviront pas dans mon métier ou dans ma vie de tous les jours.
Toi par exemple tu ne connaissais pas cette histoire des séries divergentes il y a deux jours avec notamment les fonctions Zeta et leurs application en physique. Eh bien maintenant tu sais que ça existe et si t'as encore de la curiosité (à ton âge c'est encore possible) et bien tu vas peut être de renseigner et te documenter sur le sujet même si ce n'est pas facile vu le niveau requis.
+ -1 -

_pepe_ En réponse à BarneyGumbles

Pour ta gouverne, je planchais déjà sur ces questions il y a plus de vingt ans, et depuis lors j'en ai suivi les développements. J'en ai mis certaines en application dans mon boulot. C'est donc loin d'être une découverte pour moi.

Et quand je parlais d'effets néfastes... Je viens de constater que, la semaine dernière, la publication de cette vidéo a relancé une ancienne discussion à ce sujet sur un forum professionnel auquel je suis inscrit (elle y est expressément citée). Et comme les fois précédentes, faute de disposer d'explications extérieures fiables et suffisamment explicites, certains participants (qui s'y réfèrent) font d'énormes non-sens, n'en démordent pas, et pire, font des émules ! Car apparemment, les incertitudes des vidéos de YouTube les inspirent plus que les éclaircissements des contributeurs habituels. Alors je continue à penser que ce serait moins pire si, à la base, cette vidéo avait un peu mieux cadré la question.
+ 0 -

fehdba En réponse à BarneyGumbles Vermisseau

Je suis plutôt d'accord avec _pepe_ , les maths sont un monde de rigueur. La vulgarisation oui, mais pas à n'importe quel prix. Utiliser le signe de la somme lui couterait pas grand chose, qui plus ai démontré un résultat faux ne sert qu'à faire un buzz, ou pourrait servir d'exercice à des étudiants.

En l’occurrence, montrer que A vaut soit 0 ou 1 OK, 2A vaut donc 0 ou 2, mais de la à dire que A = 1/2, c'est autorisé la division par zero. Si physiquement on peut l'admettre comme une moyenne, mathématiquement....
+ 1 -

Bobbybat Vermisseau

C'est n'importe quoi ! (réaction 1 !)

Quand on fait une somme on attend un montant et non une "accélération"
De plus la méthodologie d'utiliser une formule infinie et de la tronquer (1-1+1-1...) c'est qu'avec un élément de plus ou de moins il y a une énorme différence.

Pour moi, la vision de ce résultat est simple : on ne peut calculer la somme, mais on peut en calculer la progression (l'accélération) qui tend de 0 à +infini.
Image de Bobbybat
+ 0 -

TheMetroidPrime En réponse à Bobbybat Verxit

"Pour moi, la vision de ce résultat est simple : on ne peut calculer la somme, mais on peut en calculer la progression (l'accélération) qui tend de 0 à +infini."
Image de TheMetroidPrime
+ 0 -

Orme Dresseuse de lombriks

Cours de mathématiques générales, première année :

u[0] + u[1] + ... + u[n] = ( n + 1 ) × ( u[0] + u[n] ) / 2

'nuff said.
+ 2 -

Deodorant Lombric Shaolin

Tiens, sylvain durif ce met au math ?
Image de Deodorant
+ -1 -

nimajneB LoMBriK addict !

ouai ouai ouai
bon moi j'y connais rien du tout aux maths
je vais donc me baser sur sa coupe de cheveux pour en tirer mes conclusions
ce mec dit de la merde, voilà.
+ 0 -

simsou Jeune lombric

Sauf que 1-A=1+A≠A sauf si A=0 car A=-A.
Dire que 1-A=A c'est dire que A=0 (donc considérer A à une étape intermédiaire).

Je rappel par définition que A=1 ou 0 selon l'étape de calcul !

Bref, je pense que sa démonstration est erronée à mon sens.
+ 1 -

santino Vermisseau

Bon OK... J'ai déjà rencontré ce mec et j'avoue qu'il explique très bien et que, dans son domaine (les probas, qui est le même que le mien) il sait de quoi il parle (ainsi que dans la plupart de ses vidéos). Sauf que dans celle-ci... On peut vraiment montrer tout et n'importe quoi sur les séries divergentes (A=0 et A=1 selon comment on compte les termes, et comme disait Abel "Les séries divergentes sont une invention du diable et c’est une honte qu’on ose fonder sur elles la moindre démonstration.")

Par contre, le fait (complètement passé sous silence) que la somme des entiers vaut -1/12, que la somme des carrés ou des puissances 4e vaut 0, vient du fait (totalement rigoureux) que la fonction zeta vérifie une équation fonctionnelle absolument non triviale et même carrément miraculeuse, cela ne vient pas d'une série de calculs sur une ardoise effectués par quelqu'un qui a compté la même chose de deux façons différentes ! Ce serait même très chiant et décevant qu'une égalité si belle vienne d'une chose si banale !

Je pense que la vulgarisation peut être sympathique (comme ses autres vidéos), et même intéressante, mais aussi qu'elle peut faire énormément de mal. Et en disant cela je pense à Cédric Villani (un de mes anciens professeurs à l'ENS, qui m'a beaucoup appris) et au film "Comment j'ai détesté les maths". Si on veut que les mathématiques (ou autre chose, j'en parle car c'est le sujet de la vidéo et aussi mon domaine de prédilection car c'est mon métier) soient un domaine fait pour faire passer le temps de la grosse commission plus rapidement, ou pour s'extasier devant un verre de vin ("ouah, trop bien, j'ai vu ça après le théorème de Pythagore", "lol il a trop une tête de savant fou", "Putain j'ai toujours été nul en maths ça m'étonne pas c'est trop un truc de taré"), ben c'est parfait. Mais si on veut que des gens progressent dans ce domaine, si on veut que nos élèves sachent en faire (ce qui n'est pas le cas, et encore une fois je sais de quoi je parle car c'est mon métier), je trouve cela dangereux d'en parler comme d'une discipline totalement déconnectée de la réalité et de la rigueur, comme de quelque-chose de réservé aux savants fous (Villani et Sauvageot, pour ceux qui ont vu le film pré-cité). Les maths, c'est passionnant, mais ça se bosse, ça s'apprend et ça s'explique comme la musique, la peinture, la littérature, et tout ce qui mérite d'être approfondi. Si on valorise le culte du mystère et de la masturbation incompréhensible, il ne faut pas s'étonner que l'on devienne un pays du tiers-monde faisant appel à des ingénieurs chinois ou soviétiques. Oups, cela m'a échappé...
Inscrivez-vous ou Connectez-vous pour envoyer un commentaire
115